Eigenwerte und Eigenvektoren

Eingabematrix A

Berechnungsergebnisse und -prozess

💡 Geometrische Bedeutung von Eigenwerten und Eigenvektoren

• Eigenwerte und Eigenvektoren: Unter einer linearen Transformation, dargestellt durch eine Matrix $A$, Eigenvektoren $\vec{v}$ sind spezielle Vektoren ungleich Null, deren Richtung unverändert bleibt und nur um den Faktor skaliert wird $\lambda$ (der Eigenwert): $$A \vec{v} = \lambda \vec{v} \quad (\vec{v} \neq \vec{0})$$
• Charakteristische Gleichung: Für $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ Lösungen ungleich Null für haben $\vec{v}$, die Matrix $A - \lambda I$ darf nicht invertierbar sein. Daher muss seine Determinante gleich 0 sein: $$\det(A - \lambda I) = 0$$ Die Lösung dieser Gleichung liefert die Eigenwerte $\lambda$.
• Eigenvektorberechnung: Ersetzen Sie jeden berechneten Eigenwert $\lambda_i$ zurück in die homogene Gleichung $(A - \lambda_i I)\vec{v} = \vec{0}$und lösen Sie das System mithilfe der Zeilenreduktion, um die Basis der Eigenvektoren zu finden.