固有値・固有ベクトル (Eigenvalues & Eigenvectors)

行列 A の入力

💡 固有値・固有ベクトルの幾何的ヒント

  • 固有値と固有ベクトルとは: 行列 $A$ によって表される線形変換において、変換の前後で「方向が変わらず、長さだけが $\lambda$ 倍に拡大される」ような特殊な非ゼロベクトル $\vec{v}$ を固有ベクトル、その拡大率 $\lambda$ を固有値と呼びます： $$A \vec{v} = \lambda \vec{v} \quad (\vec{v} \neq \vec{0})$$
  • 固有方程式（特性方程式）: $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ が $\vec{v} \neq \vec{0}$ の解を持つために、行列 $A - \lambda I$ が正則であってはなりません。したがって、次の行列式が 0 になる必要があります： $$\det(A - \lambda I) = 0$$ これを解くことで固有値 $\lambda$ が求まります。
  • 固有ベクトルの算出: 得られた各固有値 $\lambda_i$ を同次方程式 $(A - \lambda_i I)\vec{v} = \vec{0}$ に代入し、掃き出し法を用いて基礎解系（固有ベクトル）を求めます。