特征值和特征向量

输入矩阵A

计算结果及过程

💡 特征值和特征向量的几何意义

• 特征值和特征向量： 在矩阵$A$表示的线性变换下，特征向量$\vec{v}$是特殊的非零向量，其方向保持不变，仅按因子$\lambda$（特征值）缩放： $$A \vec{v} = \lambda \vec{v} \quad (\vec{v} \neq \vec{0})$$
• 特征方程： 为了使 $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ 具有 $\vec{v}$ 的非零解，矩阵 $A - \lambda I$ 必须不可逆。因此，它的行列式必须等于 0： $$\det(A - \lambda I) = 0$$ 求解该方程可得出特征值 $\lambda$。
• 特征向量计算： 将每个计算出的特征值 $\lambda_i$ 代入齐次方程 $(A - \lambda_i I)\vec{v} = \vec{0}$，并使用行归约来求解系统，以找到特征向量的基础。