Valeurs propres et Vecteurs propres

Saisie de la matrice A

Résultats et étapes du calcul

💡 Signification géométrique des valeurs propres et vecteurs propres

• Valeurs propres et Vecteurs propres : Sous une transformation linéaire représentée par une matrice $A$, les vecteurs propres $\vec{v}$ sont des vecteurs non nuls particuliers dont la direction reste inchangée, mais qui sont multipliés par un facteur d'échelle $\lambda$ (la valeur propre) : $$A \vec{v} = \lambda \vec{v} \quad (\vec{v} \neq \vec{0})$$
• Équation caractéristique : Pour que $(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ admette des solutions non nulles pour $\vec{v}$, la matrice $A - \lambda I$ ne doit pas être inversible. Ainsi, son déterminant doit être nul : $$\det(A - \lambda I) = 0$$ Résoudre cette équation permet d'obtenir les valeurs propres $\lambda$.
• Calcul des vecteurs propres : Remplacez chaque valeur propre calculée $\lambda_i$ dans l'équation homogène $(A - \lambda_i I)\vec{v} = \vec{0}$, puis résolvez le système par réduction de lignes pour déterminer la base des vecteurs propres.